问题：一个二进制的数，比如100011（二进制）可以直接转换成八进制表示吗？

忽略这个问题本身，先从数的基本问题-数的表示说起。

数的表示

数学来自于现实。从最简单的问题讲起：我种了一棵、两棵、三棵、四棵、五棵、六棵、七棵、八棵、九棵、十棵、十一棵或者三十棵数，我该怎么记录我种的树的数量呢？现在，我们可以很轻松的回答这个问题，无怪乎用1、2、3、4、5、6、7、8、9、10、11或30表示这些数量；而在罗马数字中，则分别使用Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ、Ⅴ、Ⅵ、Ⅶ、Ⅷ、Ⅸ、Ⅹ、Ⅺ和XXX表示。表示方式可能是不同的，但无论是现在用的11，还是罗马数字中的Ⅺ，它们的概念却是一致的：即我种的这十一棵树。在这个问题里，十一棵就是现实中的数量，11或Ⅺ就是数学中表示这个数量的符号。说这么多，只是为了强调一点，表示数字的符号是人为定义的，如果历史出现某个巧合，可能我们现在使用的就不是阿拉伯数字了；但不管使用什么符号，它表示的概念——现实中的数量却是不变的。数字只是一个人为定义的符号，但有实际的现实意义。

说起数字，我们会很自然地想到0、1、2、3、4、5、6、7、8、9，通过进位我们可以用这十个数字表示所有的数，如比9大一的数10，比如11、10000。这是十进制下数字的表示方式。如果我们的祖先一开始使用的是二进制而非十进制，那么仅仅0和1两个数字便足够了。如果是十二进制呢，则需要给出十二个数字的表示方式，在0-9这十个数字的基础上，可能还要加上A（表示十）、B（表示十一）两个数字（当然，如前文所讲，A、B只是数字的表示形式，也完全可能是用~表示十）。N进制至少需要N个数字来表示所有的数。

为了叫出任意一个数字的名字，至少需要为0-9这十个数字都定义一个名称，比如，汉语拼音中分别叫做líng、yī、èr、sān、sì、wǔ、liù、qī、bā、jiǔ。之后便可以用这十个名称来叫所有的数了。比如10（yī líng）、12（yī èr）、100（yī líng líng）。当然，为了简单，可以为特殊的数字定义特殊的叫法，比如汉语中10的各幂次都定义了叫法，10¹（shí）、10²（bǎi）、10³（qiān）……英语中则仅为10³的各幂次定义了叫法，如10³（thousand）、10⁶（million）……

数的运算

数的表示问题解决后，紧接着的便是数的运算问题了。加法和减法是最基础的运算，它同样来自现实。比如，在原有的十一棵树基础上，第二年又长出一棵树，则现在便有了十二棵树，即11+1=12；冬天的时候为了生火，砍了两棵树，则只剩下十棵树了，即12-2=10。由此延伸的还有乘法、除法、幂等等运算。

我们从小便要学习下面这张九九乘法表：

		1	2	3	4	5	6	7	8	9
	1	1								
	2	2	4							
	3	3	6	9						
	4	4	8	12	16					
	5	5	10	15	20	25				
	6	6	12	18	24	30	36			
	7	7	14	21	28	35	42	49		
	8	8	16	24	32	40	48	56	64	
	9	9	18	27	36	45	54	63	72	81
	

以致于现在问起7*9便习惯性的得出63的结果。这（包括上面的加法运算）在十进制下是正确的。

可当我们采用八进制方式呢？此时我们仅用0-7（八进制）这八个数字便可以在八进制下表示所有的数字了，比7（八进制）大一的数为10（八进制）。这时候，用13（八进制）表示十一棵树，14（八进制）表示十二棵树，12（八进制）表示十棵树，则有以下运算成立：13+1=14（八进制）,14-2=12（八进制）。同样，八进制下可建立七七乘法表：

		1	2	3	4	5	6	7
	1	1						
	2	2	4					
	3	3	6	11				
	4	4	10	14	20			
	5	5	12	17	24	31		
	6	6	14	22	30	36	44	
	7	7	16	25	34	43	52	61
	

此时，我们原本建立在十进制上的很多概念就完全被颠覆了。当然，如果一开始学习的就是八进制，可能很自然地就得到7*7=61（八进制）的结果，反而对十进制下的7*7=49不理解了；尤其不理解的是，明明就只有0-7（八进制）这八个数字，为何多出一个9来。

进制转换（十进制）

首先从十进制下的进制转换讲起。在十进制下，通过幂指求和可以实现N进制到十进制的转换；通过辗转相除可以实现十进制到N进制的转换。举例来讲，将一个二进制数100011（二进制）转换成十进制的过程为：

		25 + 21 + 20 = 32 + 2 + 1 = 35
	

，即100011（二进制）=35（十进制）。而将十进制下的35转换为八进制的过程为：

		       余数
		8)35
		 8)4     3
		   0     4
	

，即35（十进制）=43（八进制）。

总结下来，N进制→十进制：以N为底数幂指求和，十进制→N进制：以N为除数辗转相除；幂指求和、辗转相除过程使用十进制运算法则。

进制转换（K进制）

由十进制下的进制转换，我们可以推出K进制下的转换规则：N进制→K进制：以N为底数幂指求和，K进制→N进制：以N为除数辗转相除。与十进制的转换规则的唯一不同在于，幂指求和和辗转相除的过程均以K进制运算法则进行。

举例来讲，当K=8，即八进制下将一个二进制数100011（二进制）转换成八进制的过程为：

		25 + 21 + 20 = 40 + 2 + 1 = 43
	

，即100011（二进制）=43（八进制）。注意，在八进制下，参考七七乘法表可知，2⁵（八进制）=40（八进制）。这与前文的结论相同，即100011（二进制）=35（十进制）=43（八进制）。

到这里，本文开头的问题便得到了解决，即一个二进制的数可以不通过十进制中介，直接转换成八进制数；并且，我们可以推及开来，得到这样一个结论：
在K进制运算法则下，执行M进制→N进制：
若K=M，以N为除数辗转相除；
若K=N，以N为底数幂指求和；
若K<>M&K<>N，先执行M进制→K进制转换，在执行K进制→N进制转换。

这篇文章的严谨性问题我是没法保证的，毕竟在数学方面着实没啥造诣可言，文章中很多内容也只是凭着自己的逻辑铺展开来，如有错误，还望指正。也是闲来无事，翻起尘封许久的[什么是数学]，阅读的过程中偶然想到进制转换这个问题，没想到就写出这么篇文章来。或许内容很浅薄，但享受这番思考的乐趣，还是挺有意思的事情。

2015/04/26 凌晨， 上海